Restul

În algebră, când rezultatul împărţirii a două numere întregi nu poate fi exprimat printr-un cât întreg, restul reprezintă cantitatea ramasă. Daca a şi d sunt numere naturale şi d este diferit de zero, se poate demonstra că există numerele întregi unice q şi r, astfel încât a = qd + r şi 0 ≤ r < d. Numărul q poartă denumirea de cât, iar r cea de rest. [modificare]Exemple Când 13 se împarte la 10, câtul este 1 şi restul este 3, pentru că 13=1×10+3. Când 26 se împarte la 4, câtul este 6 şi restul este 2, pentru că 26=6×4+2. Când 56 se împarte la 7, câtul este 8 şi restul este 0, pentru că 56=7×8+0. Când 3 se împarte la 10, restul este 3, deoarece atunci când împărţitorul este mai mare decat deîmpărţitul, restul este egal cu deîmpărţitul. Dacă a şi d sunt numere întregi şi d este diferit de zero, atunci restul este un număr întreg r, astfel încât a = qd + r pentru un număr întregq şi 0 ≤ |r| < |d|. Când se defineşte în acest fel, există două resturi posibile. Spre exemplu, împărţirea numărului −42 la −5 se poate exprima ca −42 = 9×(−5) + 3 reprezentarea preferată de matematicieni, sau −42 = 8×(−5) + (−2). Deci restul este 3 sau -2. Această ambiguitate poate fi o problemă serioasă pentru sistemele de calcul cu importanţă majoră, unde alegerea incorectă poate avea consecinţe dezastruase. În cazul de mai sus, restul negativ se obţine din cel pozitiv, scăzând 5, adică d. La împărţirea cu d, dacă restul pozitiv este r1 şi cel negativ este r2, atunci r1 = r2 + d. Dacă a şi d sunt numere reale şi d este diferit de zero, a poate fi împărţit la d fără rest, câtul fiind un număr real. Dacă acesta trebuie să fie un număr întreg, restul este necesar. Se poate demonstra că există un cât întreg unic q şi un rest real unic r, astfel încât a=qd+r, cu 0≤r < |d|. Ca în cazul împărţirii cu numere întregi, restul poate fi negativ: -|d| < r ≤ 0. Extinderea definiţiei restului pentru numere reale nu are o importanţă teoretică în matematică, dar multe limbaje de programare implementează această definiţie. Prin modul în care a fost definit restul, pe lângă egalitatea a=qd+r, a fost impusă şi o inegalitate, scrisă ca 0≤ r < |d| sau -|d| < r ≤ 0. Această inegalitate este necesară pentru ca restul să fie unic, adică bine definit. Alegerea unei astfel de inegalităţi este relativ arbitrară. Orice condiţie de forma x < r ≤ x+|d| (sau x ≤ r < x+|d|), unde x este o constantă, este suficientă pentru a garanta unicitatea restului. Având o alegere între două resturi diferite, unul negativ şi celălalt pozitiv, înseamnă că sunt şi două câturi diferite. În teoria numerelor, se alege întotdeauna restul pozitiv, dar nu şi în limbajele de programare. C99 şi Pascal aleg restul cu acelaşi semn ca deîmpărţitul a. (Înainte de C99, limbajul C permitea ambele posibilităţi) Perl şi Python aleg restul cu acelaşi semn ca împărţitorul d. [modificare]